Das Kloster, dessen gesamten Rückwand Franciabigio 1514 mit dem Letzten Abendmahl bemalt hatte, hieß vormals „Refektorium von St Giovanni alla porta di San Pier Gattolino“. Es erhielt seinen heutigen Namen von der Kapuze der Ingesuati-Mönche, die die Form einer Socke hatte.
